Otras teorías relevantes sobre didáctica de la matemática

Existen a nivel mundial otras líneas de investigación sobre la enseñanza y el currículo matemático y constituyen un área de estudio en Didáctica de la Matemática. La misma utiliza los resultados de otros campos de la Educación Matemática -teorías del aprendizaje fundamentalmente- y trata de ser una indagación sistemática para comprender o mejorar aspectos relacionados con la selección y estructuración de las ideas matemáticas a enseñar; la presentación de esas ideas a los alumnos; la evaluación de la efectividad del programa y del rendimiento de los alumnos.

Sintéticamente, se interesa por comprender las combinaciones de contenido, secuenciación, estrategias y sistemas de impartición más efectivos para distintos perfiles de aptitudes de los alumnos. Algunos de los teóricos que desarrollan esta línea de trabajo son: Fey (1980), Romberg y Carpenter (1986) y Rico (1990).

Otra teoría relevante para la investigación didáctica es la de los niveles de razonamiento de Van Hiele, con trabajos específicos en Geometría. La teoría de Van Hiele tiene su origen en las disertaciones doctorales de Dina Van Hiele-Geldof y su esposo, Pierre Van Hiele, en la Universidad de Utrecht, Holanda, en 1957.

Pierre Van Hiele (1957-1984) propuso cinco fases de enseñanza que pueden guiar al maestro o profesor en el diseño y facilitación de experiencias de aprendizajes apropiadas para que el estudiante progrese en matemática. Las fases son las siguientes: información (el estudiante trabaja con el material que el maestro o el profesor le presenta para familiarizarse con la estructura del material, guiado por preguntas que le proporciona el maestro o el profesor), explicitación (el estudiante aprende a expresar lo que ha aprendido sobre el material en un lenguaje correcto); orientación libre (el estudiante aplica ahora su nuevo lenguaje en nuevas investigaciones sobre el material, esto se hace posible realizando tareas que puede completar de diversas maneras), e integración (el estudiante adquiere una visión general del material que ha aprendido).
La característica más obvia de la teoría es la distinción de cinco niveles de pensamiento con respecto al desarrollo de la comprensión geométrica de los alumnos.

Las cuatro características más importantes de la teoría son:

• Orden fijo - El orden de progreso de los alumnos a lo largo de los niveles de pensamiento es invariante. En otras palabras, un alumno no puede alcanzar el nivel n sin haber pasado por el nivel n-1.
• Adyacencia - En cada nivel de pensamiento lo que era intrínseco en el nivel precedente se vuelve extrínseco en el nivel actual.
• Distinción - Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia red de relaciones que conectan esos símbolos.
• Separación - Dos personas que razonan en niveles diferentes no pueden entenderse.
  

La principal razón de fracaso del currículo tradicional de geometría fue atribuida por los esposos Van Hiele al hecho de que el currículo se presentaba a un nivel más alto que el de los alumnos. La teoría de Van Hiele distingue cinco niveles de pensamiento; aquí sólo daremos los cuatro primeros ya que son los más pertinentes para la geometría en secundaria. Las características generales de cada nivel pueden describirse así:

• Nivel 1: Reconocimiento
  Los alumnos reconocen figuras visualmente por su apariencia global. Reconocen triángulos, cuadrados, paralelogramos, etc., por su forma, pero no identifican explícitamente las propiedades de estas figuras.
  
• Nivel 2: Análisis
  Los alumnos comienzan a analizar las propiedades de las figuras y aprenden la terminología técnica apropiada para describirlas, pero no relacionan las figuras o las propiedades de las figuras.
• Nivel 3: Ordenamiento
  Los alumnos ordenan de manera lógica las propiedades de las figuras utilizando cadenas cortas de deducción y comprenden las relaciones entre las figuras (por ejemplo, inclusión de clases).
• Nivel 4: Deducción
  Los alumnos comienzan a desarrollar secuencias más largas de proposiciones y comienzan a comprender el significado de la deducción, el rol de los axiomas, los teoremas y las demostraciones.
  De acuerdo con la teoría de los Van Hiele, un aprendiz no puede llegar a cierto nivel de pensamiento sin haber antes pasado por los niveles anteriores.

Juan D. Godino y sus colaboradores, en distintos trabajos: Godino y Batanero (1994, 1998), Godino (2002), Godino, Contreras y Font; Godino, Batanero y Roa, han planteado un modelo teórico que pretende articular las facetas semiótica, epistemológica, antropológica y psicológica implicadas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, actualmente denominado “enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática” o “enfoque ontosemiótico”; en algunas publicaciones se la designa como Teoría de las funciones semióticas (TFS).

Este modelo comienza trabajando una teoría del significado de los objetos matemáticos descrita por Godino y Batanero (1994), y que reconoce un papel fundamental a las situaciones-problema y a las acciones de las personas e instituciones en la construcción del conocimiento matemático. En dicha teorización se propone una reconceptualización de algunos constructos básicos como la noción de objeto matemático, significado y comprensión, así como el estudio de sus relaciones mutuas. Asimismo, se distinguen para dichos constructos dos dimensiones interdependientes, personales e institucionales. Ampliándose actualmente al conjunto de nociones teóricas que configuran “un enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática, por el papel central que asignan al lenguaje, a los procesos de comunicación e interpretación y a la variedad de objetos intervinientes" (Godino, Font, Contreras, Wilhelmi, 2005).